Чотири глибини

Думав про локальну гомотопічну теорію статтю написати ще і про хроматичну теорію гомотопій та індексовані p-адичними числами К-теорії Морави.

Ну і ще про модальні категорії. Так само, як похідні категорії є категорною семантикою когомологічних типів, так само локальна теорія Жардіна і теорії Морави є категорною семантикою гомотопічних типів. Вони є основними інструментами, що пропонують градуальний спуск і локалізацію (ітеративний процес), у випадку когомології, похідні категорії — інформацію про виколоті многовиди, векторні розшарування та інтегрування, а у випадку гомотопій, модальні категорії та локальна гомотопічна теорія — інформацію про топологію простору та його гомотопічний тип, що теж обчислюється ітеративно.

Ādarśa-jñāna

མདང་སུ་གསོ་བ་ཤེས་རབ་གཞན་པོ་ (mdangs su gso ba shes rab gzhan po)

Найабстрактніша категорія, яка охоплює будь-які категорії логіки, у тому числі топосо-теоретичні з локалізацією відкритих підпросторів в підкласифікаторі об‘єктів є категорія комутативних діаграм — воістину найчистіший та найбстрактніший простір мислення, у якому написані (або закодовані) усі математичні формули у сучасній (абстрактній) математиці. Це — найабстрактніший чистий листок, табула раса, відкритий гіперкуб, де вершини — це топоси, а стрілки — геометричні морфізми (пара спряжених функторів між топосами), простір для математичної творчості, необмежений конкретними числами чи груповими представленнями. Саме на цьому «листку» працює мислення математика. Це — перший рівень абстрактності.

Інфініті категорії, групоїди, топоси, стеки. Поняття інфініті категорій та інфініті групоїдів є основним та найбільшохоплюючим в теорії категорій. Це такі багаторівневі категорії категорії, де всі композиції у всіх всесвітах є когерентно-узгодженими. Категоріальний аналіз включає у себе насупні стадії-конструктції від поняття самої категорії до понятя спряженої трійки: 1) Категорії (С). 2) Функтори (F). 3) Природні перетворення (N). 4) Спряжені пари (P). 5) Спряжені еквівалентності (E). 6) Спряжені трійки (T).

C → F → N → P → E → T.

Категорії діаграм. Нехай C — мала категорія, а D — будь-яка категорія. Функтор F : C → D можна розглядати як діаграму в D з індексом C. Категорія діаграм в D з індексом C, позначена D^C, має як об’єкти всі функтори від C до D, а як морфізми всі природні перетворення між цими функторами. Тобто, для двох діаграм F, G : C → D морфізм від F до G є природним перетворенням α : F → G, яке пов’язує кожному об’єкту c у C морфізм α_c : F(c) → G(c ) у D таким чином, що для кожного морфізму f : c → c' у C діаграма комутує:

F(c) ----α_c----> G(c) | | | | F(f) | | G(f) v v F(c') --α_c'--> G(c')

Локальні декартово-замкнені категорії. Категорії зі скінченними лімітами, де слайс-категорії по будь-якому об'єкту є декартово-замкненими називаються LCCC, та моделюють фібраційне лямбда-числення як внутрішню мову таких категорій.

Симетричні моноїдальні категорії. Моноїдальні категорії мають додаткову структуру яка складається з: 1) тензорного добутку ⊗: M × M → M; 2) об'єкту одиниці; 3) природнього-перетворення "асоціатора" a_{x,y,z}: (x⊗y)⊗z → x⊗(y⊗z); 4) правила трикутника та п'ятикутника. Сплетена моноїдальна категорія --- це категорія з додатковим природнім перетворенням яке називається "сплетіння" B_{x,y} : x⊗y → y⊗x, таким, що комутують дві діаграми:

x⊗(y⊗z) --α^-1_{x,y,z}---> (x⊗y)⊗z --B_{x,y}⊗z--> (y⊗x)⊗z | | | | | B_{x,y⊗z} α_{y,x,z} | v v (y⊗z)⊗x --α_{y,z,x}------> y⊗(z⊗x) --y⊗B_{x,z}--> y⊗(x⊗z)
(x⊗y)⊗z --α_{x,y,z}---> x⊗(y⊗z) --B_{x,y}⊗z--> x⊗(x⊗y) | | | | | B_{x⊗y,z} α^-1_{x,z,y} | v v (z⊗x)⊗y --α^-1_{z,x,y}------> (z⊗x)⊗y --y⊗B_{x,z⊗y}--> (x⊗z)⊗y

Сплетена моноїдальна каегорія, сплетення якої задовільняє рівняння B_{x,y} = B^-1_{y,x} для всіх об'єктів x,y називається симетричною моноїдальною категорією.

Samatā-jñāna

འདུས་པ་ཤེས་རབ་གཞན་པོ་ (dus pa shes rab gzhan po)

Потім з цього листка ми ітеративно інстанціюємо спочатку абстрактні алгебраїчні інструменти, такі як прикладні теорії категорій орисані вище, або шість йог Гротендіка, симетричні моноїдальні категорії, модальні спряження (трійки), тощо. Це — другий рівень «абстрактності».

Абелеві категорії — це збагачене поняття категорії Сандерса-Маклейна поняттями нульового обʼєкту, що одночасно ініціальний та термінальний, властивостями існування всіх добутків та кодобутків, ядер та коядер, а також, що всі мономорфізми і епіморфізми є ядрами і коядрами відповідно (тобто норомальними).

Похідні категорії. Похідна категорія — це конструкція в гомологічній алгебрі, яка пов’язує з даною категорією комплексів нову категорію, в якій ідентифікуються квазіізоморфні комплекси. Зокрема, задана категорія C комплексів над комутативним кільцем R, будується нова категорія, позначена D(C), об’єкти якої такі ж, як об’єкти C, але в якій морфізми визначені більш гнучким способом. Зокрема, морфізми в D(C) — це класи еквівалентності діаграм морфізмів у C, які називаються квазіізоморфізмами, які задовольняють певним аксіомам. Ці аксіоми включають існування певних виділених трикутників і сумісність із прямими сумами.

Модельні категорії. Категорія моделі Квіллена — це категорія, оснащена певною структурою, яка дозволяє створити гомотопічну теорію об’єктів у цій категорії. Більш конкретно, це категорія з класом слабких еквівалентностей, класом розшарувань і класом корозшарувань, які задовольняють набір аксіом, відомих як аксіоми категорії моделі Квіллена. Слабкі еквівалентності в категорії моделі Квіллена є класом відображень, які індукують ізоморфізми на певних гомотопічних групах. Розшарування є класом відображень, які задовольняють певну властивість підняття щодо корозшарувань, тоді як корозшарування є класом відображень, які задовольняють певну властивість підняття щодо розшарувань.

Категорії спектрів. Спектр — це послідовність точкових просторів X_0, X_1, X_2, ... разом із відображеннями σ_n : X_n → Σ X_{n+1}, де Σ позначає суспензію простору, що задовольняє деяким аксіомам, які гарантують, що σ_n узагальнюють звичайні карти суспензій. Морфізм спектрів f : X → Y є послідовністю відображень f_n : X_n → Y_n, які комутують із відображеннями суспензій в тому сенсі, що комутує діаграма:

X_n ------σ_n-----> Σ X_{n+1} | | f_n | Σ f_{n+1} v v Y_n ------σ_n-----> Σ Y_{n+1}

T-Спектри та досніпи спектрів. Для потреб стабільного теорії гомотопії та для схемного узагальнення різних видів спектрів: Адамса, Ейленберга-Мак Лейна, К-теорій, в тому числі для потреб А¹-теорії гомотопій, локальної гомотопічної теорії, тощо.

Функторіальні йоги. Перші шість йог Гроендіка визначають наступні спряжені функтори: геометричні морфізми, похідного функтора образу прямого пучка та оберненого образу, дуальності Верд'є, та дуальне спряження тензорного добутку в симетричних моноїдальних категоріях та внутрішнього функтора Hom. Такі йогічні вправи дали змогу побудувати похідні категорії, та виділити системи коефіцієнтів і їх узагальнення: D(X,ℚ) — ℓ-адичні пучки і ℓ-адична когомологія; D(X(ℂ),ℤ) — аналітичні пучки і когомології Бетті; D(𝓓X) — голономічні D𝓓-модулі і когомології де Рама;. D(Сoh(X)) — когерентні пучки та когерентні когомології; DM(X) — мотивні пучки і 0-зважені мотивні когомології; SH(X) — стабільні мотивні гомотопічні пучки і стабільні мотивні 0-зважені групи когомотопій.

   F ⊣ G
   ⊥     ⊥
   G ⊣ H

Функторіальні йоги і пошуки спряжень Ловіра відкривають наступні спряженя в інфініті зв'язаних топосах, або спряжені трійки (F ⊣ G ⊣ H): 1) ∃ ⊣ f-1 ⊣ ∏; 2) ∑ ⊣ f⋇ ⊣ ∃; 3) ∑ ⊣ f⋇ ⊣ ∏; 4) монадичні і комонадичні дуальності; 5) спряження Квілена; 6) спряження Фробеніуса; 7) ʃ ⊣ ♭ ⊣ ♯ ; 8) Π ⊣ Disc ⊣ Γ ⊣ coDisc ; 9) ℜ ⊣ ℑ ⊣ & ; 10) ⇉ ⊣ ↝ ⊣ Rh.

Pratya-veksanā-jñāna

རང་གི་ཤེས་རབ་གཞན་པོ་ (rang gi shes rab gzhan po)

Потім самі теорії, які виражується вже як інстанції формул попереднього, другого рівня абстрактності, наприклад теорії (ко-)гомологій та (ко-)гомотопій. Це — третій рівень «абстрактності».

Теорія гомотопій. Категорія моделей для теорії гомотопій Ho(С) - це категорія, де об'єкти це гомотопічні типи, а морфізми це гомотопізмі між цими типами. Категорія моделей має зв'язок з теорією гомотопій за допомогою забуваючого функтора, який переводить кожен гомотопічний тип на його модель. Теорія гомотопій на C - це категорія моделей для теорії гомотопій Ho(C), де Ho(C) є гомотопічною категорією, отриманою шляхом локалізації категорії C з морфізмами, які стають ізоморфізмами в категорії гомотопічних функторів.

Гомологічна алгебра. Алгебраїчна структура, яка взаємозв'язана з топологічною теорією і використовується для вивчення властивостей топологічних просторів. У категорійному підході, гомологічна алгебра визначається як об'єкт у категорії кольцевих об'єктів в категорії модулів над деякою категорією або топологічним простором. Зазвичай, це є категорія модулів над комутативним кільцем.

Алгебраїчна геометрія. Формально, алгебраїчна геометрія може бути визначена як вивчення категорії афінних алгебраїчних множин та алгебраїчних відображень між ними. Ця категорія побудована на основі категорії комутативних алгебр над заданим полем. Алгебраїчна геометрія вивчає структуру цієї категорії, таку як топологію, властивості ідеалів та їх геометричні властивості, а також вивчає властивості алгебраїчних відображень, таких як внутрішні гомоморфізми та проективні відображення.

Диференціальна геометрія. Функтор який приписує кожному гладкому многовиду M комутативну алгебру H(M), яка залежить від топологічних та диференціальних властивостей многовиду і зберігає зв'язок між гладкими відображеннями многовидів та алгебрними гомоморфізмами між відповідними комутативними алгебрами називєься кобордизмом. Цей функтор відображає категорію гладких многовидів у категорію комутативних алгебр, які звуться алгебрами Хопфа.

Категоріальна супергеометрія. Або теорія супер формальних гладких інфініті групоїдів на супер формальних Картанових просторах:

ℝp|q := ℝp|0 × ℝ0|q ≃ Spec(C∞(ℝp) ⊗ ℝ ∧ℝ• ℝq).

Kṛtyānusthāna-jñāna

བྱེད་པར་ཕྱིན་པའི་ཤེས་རབ་གཞན་པོ་ (byed par phyin pa'i shes rab gzhan po)

Потім йде четвертий рівень «абстрактності» — прикладні теорії з просторами та алгебрами, або бозонно-ферміонними суперпросторами та супераогебрами Лі. Теорія суперструн, квантова топологічна теорія поля.

Топологічна квантова теорія поля. Топологічна квантова теорія поля, яка є розділом математичної фізики, має справу з математичною структурою топологічних просторів.

Супергеометрія М-теорії: не-пертурбативне доповнення всіх струнних теорій.

Йогачара і Математика

В тибетському буддизмі основними текстами по Йогачарі вважуються тескти Міпама Рінпоче. Згідно канону, свідомості རྣམ་ཤེས (rnam shes) Йогачари, яких є 8, визначаються так: 1) མིག་ (mig, око); 2) རྣ་ (rna, вухо); 3) སྣ་ (sna, ніс); 4) ལྕེ་ (lce, смак); 5) ལུས་ (lus, тіло); 6) ཡིད་ (yid, логіка); 7) ཉོན་ཡིད་ (nyon yid, алогіка); 8) ཀུན་གཞི་ (kun gzhi, основа).

8-й вид мислення. Усі конструкції наведені в цій статті розповсюджуються на 4 рівня очищення само-усвідомлення для 8-ї свідомості алая-віджняни. Якщо мнемонічно кодувати, або езотеризувати цю модель, то вийде: 1. Основа примордіального (табула раса); 2. Основа звільнення (другий рівень абстрактності); 3. Основа загального (геометричні теорії); 4. Основа ілюзій (теорія суперструн, або нісіння причини та наслідку).

1) Гедоністичний (pramuditābhūmi; རབ་ཏུ་དགའ་བ་, rab tu dga' ba).
2) Міцний (vimalābhūmi; དྲི་མ་མེད་པ་, dri ma med pa).
3) Ілюмінуючий (prabhākarībhūmi; འོད་བྱེད་པ་, 'od byed pa).
4) Радіантний (arciṣmatībhūmi; འོད་འཕྲོ་ཅན་, 'od 'phro can).
5) Незворотній (sudurjayābhūmi; ཤིན་ཏུ་སྦྱང་དཀའ་བ་, shin tu sbyang dka' ba).
6) Ясний (abhimukhībhūmi; མངོན་དུ་གྱུར་བ་, mngon du gyur ba).
7) Прогресуючий (duraṅgamabhūmi; རིང་དུ་སོང་བ་, ring du song ba).
8) Непорушний (acālabhūmi; མི་གཡོ་བ་, mi g.yo ba).
9) Неперевершений (sādhuṃatībhūmi; ལེགས་པའི་བློ་གྲོས་, legs pa'i blo gros) .
10) Хмари Дхарми (dharmameghaābhūmi; ཆོས་ཀྱི་སྤྲིན་, chos kyi sprin).

В тибетській традиції Йогачари, чотири з останніх 10 бхумі шляху Бодхісатви відповідають чотирьом рівнями само-усвідомлення Алая-віджняни: 8-й вид мислення це онтолічний мисленний процес який покриває усі можливі абстрактні і прикладні математики, тому його модель — це одна з можливих індексацій бібліотеки формальної математики.

7-й вид мислення це мислення з bottom, яким може скічитися довільне обчислення довільного морфізму, або мислення з парадоксами, або мислення з Fixpoint, самовимотуючий процес мислення. Формальні теорії з парадоксами. Розглядається вбудовування в категорях повних частково-впорядкованих множин. В сутності -- це всі мови з неконтрольованую рекурсію, теорії рекурсивних функцій, тощо. Більшість неформальних (просто формалізуємих) інтерпритаторів з неконтрольованую рекурсією які не-реалізують Тюрінг повноту, через обмеженість ресурсів, також класифікують як вимотуюче мислення. Більшість помилок в індустрії, а також в теорії паралельних обчислень на наявність неконтрольованих циклів, які в граничних помилкових ситуаціях та споживають значну кількість ресурсів. 7-й вид мислення моделюється коіндукивними процесами, паралельними процесами, тощо.

6-й вид мислення або sems sdе, звичайний гільбертовий обчислювач, або топос Гротендіка. CoC, MLTT — теж відносяться до 6-го типу мисленння. Чисті формальні теорії без парадоксів. Хоча декартово-замкнені категорії та симетричні моноїдальні категорії представлені як чотири ступені 8-го виду мислення, можна згадати їх тут, так як вони є моделями самоусвідомлення базового мислення. Яке з приходом наступного рівня зустрічається за парадоксами, які можуть стати на заваді до 8-го виду мислення. 6-й вид мислення — це фібраційна ясність просвітлення.

5 когнітивних мисленнь які маніфестуються в Йогачарі як (оціночні) дуальності та мандала п'яти сімейств. Активно проаналізовані можливості текстуальної генерації, відео та аудіо генерації та впроваджені вигляді публічних натренованих когнітивних сервісів. В основному використовується лінійна алгебра, теорія груп, топологічний аналіз даних, теорія нейромереж.

Кон'юнктура

Немає математики за межами цієї вежі, немає мислення за межами цієї вежі, немає просторів за межами цієї вежі. Можливо, навіть, це спряжена трійка:

Простір ⊣ Мислення ⊣ Математика

˙

Цикл випусків журналу «Формальна філософія» видавництва «Аксіосис» 2018—2023.

[1]. Формальна філософія. Випуск 1. Свідомість. 2018.
[2]. Формальна філософія. Випуск 2. Хопф. 2018.
[3]. Формальна філософія. Випуск 3. Мадг'яміка. 2018.
[4]. Формальна філософія. Випуск 4. Хроматична Теорія Гомотопій
[5]. Конференція 1. Geometry in Modal HoTT. 2019.
[6]. Конференція 2. Lean Forward. 2019.
[7]. Формальна філософія. Випуск 4. Категорії Квілена. 2020.
[8]. Книжки 1. Modal Homotopy Type Theory. 2020.
[9]. Формальна філософія. Випуск 5. Метафілософія. 2021.
[10]. Книжки 2. Прикладна математика. 2021.
[11]. Книжки 3. Формальна система. 2021.
[12]. Формальна філософія. Випуск 7. Мова простору. 2021.
[13]. Книжки 4. Бібліотека Групоїд Інфініті. 2022.
[14]. Книжки 5. Топовий програміст. 2022.
[15]. Формальна Йогачара. Випуск 0. Вступ. 2023.
[16]. Формальна Йогачара. Випуск 1. П'ять теорій. 2023.
[17]. Формальна Йогачара. Випуск 2. Суперпростір. 2023.
[18]. Формальна Йогачара. Випуск 3. Абелеві каегорії. 2023.
[19]. Формальна Йогачара. Випуск 4. Чотири глибини. 2023.


˙

Пререквізити

[1]. Александр Гротендік. «Sur quelques points d'algèbre homologique». 1957.
[2]. Йон Бакур, Арестід Деляну. Вступ в теорію категорій та функторів. 1972.
[3]. Кац. Супералгебри Лі. 1974.
[4]. Branislav Jurčoa, Christian Sämannb, Urs Schreiberc, and Martin Wolf. Higher Structures in M-Theory. 2019.
[5]. Девід Еліндер. Дослідження абелевих категорій і унівалентній теорії типів. 2021.
[6]. Martin Gallauer. An introduction to six-functor formalisms. 2022.
[7]. Simon Davis. Supersymmetry and the Hopf fibration. 2012.
[8]. Martin Rocek, Neal Wadhwa. On Calabi-Yau supermanifolds. 2004.
[9]. Claudio Bartocci, Ugo Bruzzo & Daniel Hernández-Ruipérez. Cohomology of supermanifolds. 1991.
[10]. Urs Schreiber. Differential cohomology in a cohesive ∞-topos. 2013.
[11]. C.A.Cremonini, P.A.Grassi. Cohomology of Lie Superalgebras: Forms, Pseudoforms, and Integral Forms. 2021.
[12]. M. A. AGUILAR, J.M. LOPEZ-ROMERO, MIGUELSOCOLOVSKY. COHOMOLOGY AND SPECTRAL SEQUENCES IN GAUGE THEORY. 1994.
[13]. Р.Голдблатт. Топоси. Категорний аналіз логіки. 1979.
[14]. John Huerta, Urs Schreiber. M-theory from the Superpoint. 2017.
[15]. Jacob Lurie. Higher Topos Theory. 2009.
[16]. Goro Kato. The Heart of Cohomology. 2006.